密码学算法的实现和使用都有非常多要注意的地方。
作者：阿为
Ed25519 是一个基于椭圆曲线的数字签名算法，它高效，安全且应用广泛。TLS 1.3, SSH, Tor, ZCash, WhatsApp 和 Signal 中都使用了它。本文主要讲解以下几点：
1. 介绍一点群论知识，目的是让大家对 Ed25519 和其可延展性问题的原理有一种直觉。若想深入理解，还需参考其他资料；
2. 针对 rust 库 ed25519-dalek 的 1.0.1 版本讲解 ed25519 的实现；
3. 针对该库的延展性问题做出解释。
数学要点回顾
群的定义与性质
群论是抽象代数研究的内容，但抽象代数的一些思想是程序员非常熟悉的。面向对象中的继承就是一个很好的例子，我们都知道子类继承了父类后，就能使用父类中定义的方法。可以将抽象代数理解为对一个抽象的数据结构定义了一些性质，由这些性质推导出来的定理对于所有的子类都成立。
沿用刚刚的比喻，来看看群（group）这个数据结构是如何定义的。
一个群由一个操作（任何的二元操作用 o 记）和一些元素构成，同时满足如下性质：
拉格朗日定理
现在介绍一个非常有意思的定理，这个定理的推导在文末引用的视频中。
“群的阶能被子群的阶整除。”
为什么说这个定理有意思呢，不仅仅因为它的证明过程串起了刚刚介绍的许多知识，还因为下面的结论：
Ed25519 的实现
现在我们来讲 Ed25519，它是 EdDSA 算法的其中一种。EdDSA 有 11 个参数（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-3），这些参数的具体选择对于算法的安全和性能有很大的影响。Ed25519 的具体选择请参看链接（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-9）。
另外，值得一提的是这套算法用到了一个叫 Curve25519（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748#autoid-5）的椭圆曲线。对于椭圆曲线，我们只需知道，它上边有很多很多点，这些点相加能得到新的点，新的点还是在曲线上。这些点和这个加法能形成一个群。注意这里的椭圆曲线加法（https://www.wikiwand.com/en/Elliptic_curve_point_multiplication）是有特殊定义的。
这是个交互式的算法，但是没关系，有一个技巧叫做 the Fiat – Shamir heuristic（https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-47721-7_12），它可以把任意的交互式算法转化成非交互式的算法。最终我们会用非交互式算法。
数字签名算法都会给我们如下 API：
输出一个私钥和一个公钥：
1. 随机生成一个 seed（https://github.com/dalek-cryptography/ed25519-dalek/blob/97c22f2d07b3c260726b90c55cd45f34ec34a037/src/secret.rs#L167-L176），这个 seed 有 32 个字节。我们使用了一个系统自带的密码学安全的随机数生成元。
pub fn generate<T>(csprng: &mut T) -> SecretKeywhere T: CryptoRng + RngCore,{ let mut sk: SecretKey = SecretKey([0u8; 32]);
csprng.fill_bytes(&mut sk.0);
sk}2. 把刚刚的 seed 扩展成 64 个字节（https://github.com/dalek-cryptography/ed25519-dalek/blob/97c22f2d07b3c260726b90c55cd45f34ec34a037/src/secret.rs#L265-L282），也就是图中的 xseed。xseed 的低 32 字节就是我们的私钥（aka a）。高 32 字节被称为 nonce，后面会被用在 中，其作用类似 domain sperator。
pub struct ExpandedSecretKey { // xseed pub(crate) key: Scalar, // a pub(crate) nonce: [u8; 32], // nonce}
fn from(secret_key: &'a SecretKey) -> ExpandedSecretKey { let mut h: Sha512 = Sha512::default(); let mut hash: [u8; 64] = [0u8; 64]; let mut lower: [u8; 32] = [0u8; 32]; let mut upper: [u8; 32] = [0u8; 32];
h.update(secret_key.as_bytes()); hash.copy_from_slice(h.finalize().as_slice());
lower.copy_from_slice(&hash[00..32]); upper.copy_from_slice(&hash[32..64]);
// 这一步是 clamp lower[0] &= 248; lower[31] &= 63; lower[31] |= 64;
ExpandedSecretKey{ key: Scalar::from_bits(lower), nonce: upper, }}3. 用私钥生成公钥（https://github.com/dalek-cryptography/ed25519-dalek/blob/97c22f2d07b3c260726b90c55cd45f34ec34a037/src/public.rs#L54-L68）。公钥是椭圆曲线上的一个点。具体来说，我们利用椭圆曲线的基点 来做椭圆曲线乘法，就得到公钥。乘法中的标量则是通过对私钥 做一次哈希得到。
pub struct PublicKey(pub(crate) CompressedEdwardsY, pub(crate) EdwardsPoint);
impl<'a> From<&'a SecretKey> for PublicKey { /// Derive this public key from its corresponding `SecretKey`. fn from(secret_key: &SecretKey) -> PublicKey { let mut h: Sha512 = Sha512::new(); let mut hash: [u8; 64] = [0u8; 64]; let mut digest: [u8; 32] = [0u8; 32];
h.update(secret_key.as_bytes()); hash.copy_from_slice(h.finalize().as_slice());
digest.copy_from_slice(&hash[..32]) PublicKey::mangle_scalar_bits_and_multiply_by_basepoint_to_produce_public_key(&mut digest) }}
fn mangle_scalar_bits_and_multiply_by_basepoint_to_produce_public_key( bits: &mut [u8; 32],) -> PublicKey { bits[0] &= 248; bits[31] &= 127; bits[31] |= 64;
let point = &Scalar::from_bits(*bits) * &constants::ED25519_BASEPOINT_TABLE; let compressed = point.compress();
PublicKey(compressed, point)}
这里可以提一下之前说的 Fiat Shamir 技巧，其实只需要把所有 Verifier 提供的随机数替换成一个哈希函数的结果即可。具体请看代码注释。
pub fn sign(&self, message: &[u8], public_key: &PublicKey) -> ed25519::Signature { let mut h: Sha512 = Sha512::new(); let R: CompressedEdwardsY; let r: Scalar; let s: Scalar; let k: Scalar;
h.update(&self.nonce); h.update(&message);
r = Scalar::from_hash(h); // r 在我们交互式算法中是一个随机数，但是这里我们用了哈希。 R = (&r * &constants::ED25519_BASEPOINT_TABLE).compress(); // R = [r]B
h = Sha512::new(); h.update(R.as_bytes()); h.update(public_key.as_bytes()); h.update(&message);
k = Scalar::from_hash(h); // h = Sha512(R || A || M) s = &(&k * &self.key) + &r; // s = r + h * a，h 原本是随机数
InternalSignature { R, s }.into()}
impl Verifier<ed25519::Signature> for PublicKey { #[allow(non_snake_case)] fn verify( &self, message: &[u8], signature: &ed25519::Signature ) -> Result<(), SignatureError> { let signature = InternalSignature::try_from(signature)?;
let mut h: Sha512 = Sha512::new(); let R: EdwardsPoint; let k: Scalar; let minus_A: EdwardsPoint = -self.1;
h.update(signature.R.as_bytes()); h.update(self.as_bytes()); h.update(&message);
k = Scalar::from_hash(h); // h 的计算和 sign 中一样，h=Sha512(R||A||M) R = EdwardsPoint::vartime_double_scalar_mul_basepoint(&k, &(minus_A), &signature.s); // R’ = [s]B - [h]A
if R.compress() == signature.R { // 如果 R’==R，那么验证结果为真。 Ok(()) } else { Err(InternalError::VerifyError.into()) } }}代码地址（https://github.com/dalek-cryptography/ed25519-dalek/blob/97c22f2d07b3c260726b90c55cd45f34ec34a037/src/public.rs#L322-L355）
可延展性问题
密码学算法的实现和使用都有非常多要注意的地方。当我们说一个数字签名算法是安全的，一般指的是即使在攻击者能够获得任意消息的签名（Chosen Message Attack）的情况下，攻击者仍然不能伪造签名。Ed25519 满足这个性质，但不代表 Ed25519 是绝对安全的。在原始的论文中也提到，可延展性问题是可以接受的，且原始的算法就有这个问题。
这样，新构造的签名和旧的签名就都能被验证成功了。延展性问题告诉我们签名并不是相对 message 和公钥确定，当签名算法存在延展性问题且代码中假设签名是确定的情况下，就很有可能存在漏洞。
致谢
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References
[1]. https://ed25519.cr.yp.to/ed25519-20110926.pdf
[2]. https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032
[3]. https://github.com/dalek-cryptography/curve25519-dalek
[4]. https://github.com/dalek-cryptography/ed25519-dalek
[5]. Researchers Use Group Theory to Speed Up Algorithms — Introduction to Groups
